Примеры решений комплексных чисел + калькулятор

Понятия комплексные или мнимые числа впервые начали применяться при решении квадратных уравнений. Когда дискриминант получался меньше нуля (D<0), в школе мы могли слышать фразу: «уравнение не имеет решения», но нас вводили в заблуждение. На самом деле, все это делалось в благих намерениях, ведь большая часть школьников не сможет осознать, что такое комплексное число, потому как представить себе его нельзя. Со временем комплексные числа нашли свое применение в разных отраслях, одной из них стала электротехника.

Обозначение мнимой единицы предложил Эйлер, он взял первую букву латинского слова "imaginarius", что в переводе означает «мнимый». Мнимая единица равна корню квадратному из минус одного:

А при возведении мнимой единицы в квадрат, применив элементарные математические операции, мы получим -1:

Существуют три различных формы записи комплексных чисел:

- алгебраическая;
- показательная;
- тригонометрическая.

Алгебраическая форма комплексного числа состоит из действительных, вещественных значений (a, b) и i – мнимой единицы. Комплексное число в алгебраической форме имеет вид a+bi, где a– действительная и bi – мнимая части.

Рисунок 1 – Построение комплексного числа на плоскости (в системе координат).

На вышеприведенном рисунке изображена комплексная плоскость, которую создают оси:

- действительная ось Re (real);
- мнимая ось Im (imaginarius).

В качестве примера на плоскости уже построено комплексное число 5+3i. По действительной оси было отложено a=5, и по мнимой b=3. Поднимем перпендикуляры с осей. Соединим образовавшуюся точку пересечения с нулем. Таким образом, мы получим радиус-вектор. Модуль комплексного числа (|z|) – это длина полученного радиус-вектора, или, другими словами, это расстояние от точки на комплексной плоскости до начала координат. Рассчитывается модуль комплексного числа по формуле:

На рисунке 1 вектор z образовывает с действительной осью угол - аргумент комплексного числа, который легко находится:

Значения a и b можно выразить через радиус-вектор и угол фи (прямоугольный треугольник с углом φ, прилегающим катетом a, гипотенузой |z|):

Тогда, подставив полученные значения в алгебраическую форму, мы выведем следующую форму:

Тригонометрическая форма комплексного числа была выражена из алгебраической и имеет вид:

Я думаю, Вам уже стало понятно, что любое комплексное число можно преобразовать в любую из трех форм. Показательная (экспоненциальная) форма комплексного числа имеет следующее равенство с алгебраической:

Комплексные числа являются равными, только если у них равны и действительные, и мнимые части.

Онлайн калькулятор комплексных чисел
Алгебраическая показательная


Вещественная часть (а):
Мнимая часть (b): i
Модуль комплексного числа (|z|):
Аргумент (угол φ, градус):
Показательная алгебраическая
Модуль комплексного числа (|z|):
Аргумент (угол φ, градус):
Вещественная часть (а):
Мнимая часть (b) i
Программа для электротехнических расчетов

Программа выполняет вычисления c комплексными числами, представленными в алгебраической или показательной форме, а так же рациональными числами.

Функционал:

- сложение, вычитание, умножение, деление иррациональных чисел;
- перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот;
- возможность задавать точность вычисления от 1-го до 4-х десятичных знаков;
- задание угла как в градусах, так и в радианах;
- предусмотрено использование переменных;
- построение векторных диаграммм;
- вывод результатов расчетов на печать, сохранение и повторный ввод для продолжения расчета.
Перед использованием софта, рекомендуем ознакомиться со "Справкой", которая находиться в архиве с программой. *Все свои пожелания/замечания, касающиеся работы калькулятора, оставляйте в комментариях или обращайтесь непосредственно разработчику.

Математические действия над комплексными числами

Сложение и вычитание комплексных чисел необходимо осуществлять в алгебраической форме, если число представлено в иной форме, нужно перевести его в алгебраическую, воспользовавшись калькулятором, или же вручную по формулам ниже:

Сложение
Вычитание

Умножение и деление комплексных чисел возможно реализовать как в алгебраической, так и в показательной формах. Но намного практичней осуществлять действие в показательной форме, этот способ займет намного меньше времени при расчете, например, токов короткого замыкания.

Умножение
Алгебраическая форма:
Показательная форма:
Комплексно-сопряженными называются числа, у которых действительные части равны, а знак перед мнимой единицей – разный.

Сложение сопряженных чисел:

Умножение комплексно-сопряженных:

При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо избавиться от мнимой составляющей в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножают на число, сопряженное знаменателю.

Деление
Алгебраическая форма:
Показательная форма:

Перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот возможно осуществить с помощью калькулятора для комплексных чисел, который Вы можете скачать по ссылке. Кстати, именно этим калькулятором я пользовался при расчете комплексных чисел ТОЭ, когда учился в университете. Пользоваться им крайне просто. Для перевода в разные формы используется установка нужного «флажка».

Как считать комплексные числа на инженерном калькуляторе?

Если на руках имеется реальный калькулятор, который Вы купили в канцелярском магазине, и он обладает возможностью расчета комплексных чисел, то внимаем. Сейчас расскажу как им пользоваться.

1. Чтоб перевести комплексное число 5+3i из алгебраической формы в показательную, нажимаем клавиши в следующей последовательности:

(красным цветом помечены результаты, которые выведутся на дисплей калькулятора)

Результат:

2. Перевод 4e-i7° в алгебраическую форму:

Результат:

3. И в завершение выполним умножение (5+3i)∙(2-4i):

Результат:

Кнопка калькулятора 2ndf - «secondfunction» (вторая функция):

- переводит в показательную форму;
- в алгебраическую.

Комментарии  

 
# Артём 13.09.2015 20:15
в примере деления комплексных чисел, где алгебраическая форма, у Вас ошибка. (5+3i)\(2+i) будет равно 2.6+0.2i
Попробуйте, сами пересчитайте. у Вас там просто знак потерян.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Виктор Владимирович 03.10.2015 10:10
Артем! Позвони мне 89286626354
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Engineer 29.11.2015 17:06
Цитирую Артём:
в примере деления комплексных чисел, где алгебраическая форма, у Вас ошибка. (5+3i)\(2+i) будет равно 2.6+0.2i
Попробуйте, сами пересчитайте. у Вас там просто знак потерян.

Ошибка исправлена, спасибо
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Влад. 02.12.2015 17:35
Проверьте пожалуйста калькулятор. При переводе числа
из Алгебраической в показательную, число (-19.546+42.578 i), и при переводе обратно, ответ даёт не верный. Знаки (! )путает . Исправьте пожалуйста.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Engineer 05.12.2015 11:24
Цитирую Влад.:
Проверьте пожалуйста калькулятор. При переводе числа
из Алгебраической в показательную, число (-19.546+42.578i), и при переводе обратно, ответ даёт не верный. Знаки (! )путает . Исправьте пожалуйста.

Спасибо за замечание. Все исправлено
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Станислав 20.12.2015 11:24
Почему в вещественной части не может быть 0??
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Станислав 20.12.2015 11:33
а нет, все в порядке, извините)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Алексей 27.12.2015 10:29
При попытке растянуть окно протокола расчета оно не увеличилось, а потянулась вся форма. Лучше или закрепить размер формы или настроить увеличение именно окна. (Просто рекомендация для улучшения программы).
За калькулятор Спасибо!.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Иван 14.01.2016 11:31
Увеличить окно просмотра не меняя размер формы можно только перекрыв клавиатуру. При изменении размера формы меняется размер окна просмотра, а клавиатура остается доступной. Спасибо.
Автор программы.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Владислав 02.04.2016 22:08
Огромное спасибо за помощь с 4e-i7° примером, искал несколько часов, как решить на инженерном калькуляторе!
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# ШЕВА 03.05.2016 21:35
Спасибо за программу
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# ВАРЯ 04.09.2016 18:21
Здорово, спасибо огромное!
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Игорь 04.09.2016 21:10
у вас ошибка в определении комплексного угла (арккотангенс), там а делить на б должно быть, а не наоборот
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Никита 14.11.2016 17:50
Что если у меня такая ситуация i¹²³+i¹³² что делать в таком случае
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Guest 29.09.2017 06:50
Цитирую Никита:
Что если у меня такая ситуация i¹²³+i¹³² что делать в таком случае

Можно разложить так: i^123=(i^2)^61* i=(-1)^61*i=-1* i=-i
i^132=(i^2)^66= (-1)^66=1 и далее думаю не сложно догадаться)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# татьяна 24.11.2016 06:47
Не могу решить помогите!!!!! -4/1-i√3 как решить это в алгебраической виде
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# галина 09.12.2016 13:26
помогите 6е 7пи)4 записать втригонометриче ской и алгебраической форме
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Влада 27.12.2016 01:36
z1=5-3i
z2= -1+6i НАйти сумму и произведение. помогите решить ПРЖАЛУЙСТА !
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Sabrina 04.05.2017 02:16
No matter if some one searches for his essential thing,
so he/she desires to be available that in detail, so that thing is
maintained over here.

my web page kredyt
przez internet: https://kredytbezzawiadcze.wordpress.com
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Григорий 11.01.2018 02:11
Не могу запустить программу на устройстве Acer Aspire one D257 под управлением windows xp
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Евгения 25.01.2018 06:52
подскажите , как перевести в тригонометричес кую форму число z=-3(cosg(pi/7) + isin(pi/7))
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Scot 12.03.2018 15:22
Great items from you, man. I've be aware your stuff
previous to and you're just extremely wonderful.
I actually like what you have received here, really like what you're saying and the way in which in which you say it.

You are making it enjoyable and you continue to take care of to keep it smart.
I can not wait to learn much more from you.
That is really a tremendous site.

My web blog - la motivazione per perdere peso è dura: http://yiyado.dieta-vita.com
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Guest 28.07.2018 01:22
(1+i)^40 решение скажите, как выходит 1048576, обьясните
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Cathryn 15.12.2018 06:14
I take pleasure in, cause I found exactly what I used
to be looking for. You have ended my 4 day lengthy hunt!
God Bless you man. Have a great day. Bye

Also visit my weblog - https://giomuaodau.com/danh-sach-phong-kham-phu-khoa-tot-o-ha-noi-checklist-nhan-dien: https://giomuaodau.com/danh-sach-phong-kham-phu-khoa-tot-o-ha-noi-checklist-nhan-dien/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Zack 18.02.2019 23:42
Hi everyone, it's my first pay a quick visit at this site, and piece of writing
is truly fruitful for me, keep up posting these types of content.


Look into my web page Slot Online Terpercaya (ktook.com: http://ktook.com/home.php?mod=space&uid=7553&do=profile&from=space)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Jayson 18.04.2019 18:53
Please let me know if you're looking for a article writer for your blog.
You have some really good articles and I feel I would be a good asset.
If you ever want to take some of the load off, I'd absolutely
love to write some content for your blog in exchange for a link back to mine.
Please blast me an email if interested. Regards!


Also visit my blog :: minecraft: http://j.mp/2CCj6Xb
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Isis 18.04.2019 22:36
You have made some really good points there.
I checked on the net to find out more about the issue and found most individuals will go along with your
views on this site.

Also visit my web site; minecraft - http://tinyurl.com: http://tinyurl.com/y6mcaneq,
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Christi 20.04.2019 02:05
Hi! This is my first visit to your blog!
We are a group rise of civilization edelsteine
hack: http://www.rocfanatics.com/ volunteers and starting a new project in a
community in the same niche. Your blog provided us valuable information to work on. You have done a wonderful job!
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Natisha 20.04.2019 02:37
Hey there! This is my first visit to your blog! We are a collection of volunteers and
starting a new initiative in a community in the same niche.
Your blog provided us valuable information to work on. You have done a marvellous job!


Here is my website - minecraft: http://j.mp/2V1f5m4
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Jill 20.04.2019 13:49
Yes! Finally someone writes about minecraft - http://tinyurl.com/y5s3lubf: http://tinyurl.com/y5s3lubf -.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Robby 21.04.2019 20:44
As the admin of this site is working, no uncertainty very rapidly it will be famous,
due to its feature contents.

my blog post ... minecraft: http://j.mp/2Z2Fy59
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Blondell 22.04.2019 02:11
Hi there mates, nice paragraph and good arguments commented at this place, I am truly enjoying by
these.

Feel free to visit my website: minecraft: http://t.co/NXikjKV3OC
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Noelia 22.04.2019 02:30
I believe that is one of the such a lot significant info for me.
And i am satisfied studying your article.

However should observation on some normal things, The web site style is perfect, the articles is actually excellent : D.
Excellent process, cheers

Stop by my web site; dewa poker online - www.attivalamemoria.eu: http://www.attivalamemoria.eu/index.php?option=com_k2&view=itemlist&task=user&id=532373,
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Arnulfo 22.04.2019 20:16
Everyone loves it when individuals get together and share views.
Great website, continue the good work!

My web page ... minecraft: http://t.co/L3eaTwZrdR
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Alysa 23.04.2019 02:48
Hi there friends, its fantastic piece of writing about teachingand fully defined, keep it up all the time.



Feel free to visit my web page :: minecraft: http://j.mp/2Z2Fy59
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Holly 23.04.2019 19:01
Hello to every body, it's my first pay a quick visit of this web
site; this web site consists of amazing and truly fine information designed for visitors.



Feel free to visit my website Situs Poker Online: http://newsmeback.xyz/story.php?title=satelitqq-poker-online-2
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Gregory 23.04.2019 23:37
What a data of un-ambiguity and preserveness of valuable knowledge concerning unexpected feelings.


my blog post :: minecraft: http://t.co/2mFB1Ov9Mb
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Lillie 24.04.2019 02:01
Greetings from Ohio! I'm bored to tears at work so I decided to browse
your blog on my iphone during lunch break. I love
the knowledge you provide here and can't wait to take a look when I get home.
I'm shocked at how quick your blog loaded on my cell phone ..
I'm not even using WIFI, just 3G .. Anyhow, wonderful blog!


Also visit my weblog; minecraft: http://t.co/AUaDP7saal
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Jeffery 10.05.2019 23:38
When I originally commented I clicked the "Notify me when new comments are added" checkbox and
now each time a comment is added I get four e-mails with the same comment.
Is there any way you can remove me from that service?
Appreciate it!

My website uncertain About life decision?: http://www.Gioiellidisardegna.com/?option=com_k2&view=itemlist&task=user&id=1761810
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Dorie 16.09.2019 10:31
I was recommended this web site via my cousin. I am no longer sure whether this post is
written by way of him as nobody else know such detailed about my trouble.
You are wonderful! Thanks!

Check out my blog: best price 100mg
generic viagra: http://cannabis.bitcoinsstockpicks.com/blogs/viewstory/2285
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# JoniKax 17.09.2019 00:59
Now consider a PVC pipe elbow, a commonly used product in residential stuff that we had forgotten was there, when we looked under our bathroom sink). Insulated nozzle Mold separates FIGURE 14-48 Schematic diagram of a hot
How to remove kitchen sink faucet: http://sinkfaucets.cf/art/how-to-remove-kitchen-sink-faucet2/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# ecossetrobowl 17.09.2019 06:14
крупногабаритны е грузовые перевозки http://p7.minzdravrso.ru/about/forum/user/8560/ доля грузовых перевозок http://market.pbprog.ru/forum/index.php?PAGE_NAME=profile_view&UID=202345 грузоперевозки астрахань атырау http://lift63.com/forum/index.php?PAGE_NAME=profile_view&UID=30135 отчет грузовые перевозки http://bowlingalex.ru/communication/forum/index.php?PAGE_NAME=profile_view&UID=22095 грузовые перевозки алчевск http://terrabashkiria.ru/forum/index.php?PAGE_NAME=profile_view&UID=20508 объявления грузоперевозки челябинск http://fincenter.kz/communication/forum/user/16215/ калининград перевозки грузовые http://rsdrf.minzdravrso.ru/about/forum/user/8560/ грузоперевозки межгород москва http://m-tender.com/forum/user/3468/ грузоперевозки газель киев и область http://egclinic.ru/about/forum/user/5515/ грузоперевозки по россии квартирный переезд https://enesk.ru/communication/forum/user/7211/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# SVSflounny 17.09.2019 11:51
Различные из скважин по окончании осуществления восстановительн ого комплекса процедур могут быть снова введены в применение. Тем более что суммарная стоимость данных действий в десять раз ниже суммы непосредственны х сооружений.
Обеспечено повышение дебита водозаборной скважины не менее 30 процентов от имеющегося на момент запуска выполненных работ.

В восьмидесятиS% случаях скважины возобновляются до начальных данных при внедрении в применение скважины, это по праву считается альтернативой производства буровых работ новой скважины.

Сотрудники нашей торговые фирмы по Очистке водяных емкостей и Бурению скважин на воду предлагаем свои услуги всем, как частным так и общественным учреждениям.

Спецводсервис - гидродинамическ ая очистка: https://svs-samara.ru/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# upimeyeezut 17.09.2019 17:33
Buy Amoxicillin Online: http://mewkid.net/order-amoxicillin/ Amoxicillin 500mg qrl.vzdn.h4e.ru .ugg.ls http://mewkid.net/order-amoxicillin/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# wihqpami 17.09.2019 17:59
Amoxicillin 500mg: http://mewkid.net/order-amoxicillin/ Buy Amoxicillin mgn.zklc.h4e.ru .ejm.fo http://mewkid.net/order-amoxicillin/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# MikoMoge 17.09.2019 19:26
By Gary Null PhD and Amy Mitura Millions of people, throughout the world, after decades of consuming an American-style diet, are starting to pay attention to what they are putting into their bodies. Finally, there is a conscious questioning of the safety the American diet.
Scalp psoriasis in children: http://psoriasisinchildren.ml/art/scalp-psoriasis-in-children4/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий

Общайтесь культурно

Ваше имя:

Защитный код
Обновить