Примеры решений комплексных чисел + калькулятор

Понятия комплексные или мнимые числа впервые начали применяться при решении квадратных уравнений. Когда дискриминант получался меньше нуля (D<0), в школе мы могли слышать фразу: «уравнение не имеет решения», но нас вводили в заблуждение. На самом деле, все это делалось в благих намерениях, ведь большая часть школьников не сможет осознать, что такое комплексное число, потому как представить себе его нельзя. Со временем комплексные числа нашли свое применение в разных отраслях, одной из них стала электротехника.

Обозначение мнимой единицы предложил Эйлер, он взял первую букву латинского слова "imaginarius", что в переводе означает «мнимый». Мнимая единица равна корню квадратному из минус одного:

А при возведении мнимой единицы в квадрат, применив элементарные математические операции, мы получим -1:

Существуют три различных формы записи комплексных чисел:

- алгебраическая;
- показательная;
- тригонометрическая.

Алгебраическая форма комплексного числа состоит из действительных, вещественных значений (a, b) и i – мнимой единицы. Комплексное число в алгебраической форме имеет вид a+bi, где a– действительная и bi – мнимая части.

Рисунок 1 – Построение комплексного числа на плоскости (в системе координат).

На вышеприведенном рисунке изображена комплексная плоскость, которую создают оси:

- действительная ось Re (real);
- мнимая ось Im (imaginarius).

В качестве примера на плоскости уже построено комплексное число 5+3i. По действительной оси было отложено a=5, и по мнимой b=3. Поднимем перпендикуляры с осей. Соединим образовавшуюся точку пересечения с нулем. Таким образом, мы получим радиус-вектор. Модуль комплексного числа (|z|) – это длина полученного радиус-вектора, или, другими словами, это расстояние от точки на комплексной плоскости до начала координат. Рассчитывается модуль комплексного числа по формуле:

На рисунке 1 вектор z образовывает с действительной осью угол - аргумент комплексного числа, который легко находится:

Значения a и b можно выразить через радиус-вектор и угол фи (прямоугольный треугольник с углом φ, прилегающим катетом a, гипотенузой |z|):

Тогда, подставив полученные значения в алгебраическую форму, мы выведем следующую форму:

Тригонометрическая форма комплексного числа была выражена из алгебраической и имеет вид:

Я думаю, Вам уже стало понятно, что любое комплексное число можно преобразовать в любую из трех форм. Показательная (экспоненциальная) форма комплексного числа имеет следующее равенство с алгебраической:

Комплексные числа являются равными, только если у них равны и действительные, и мнимые части.

Онлайн калькулятор комплексных чисел
Алгебраическая показательная


Вещественная часть (а):
Мнимая часть (b): i
Модуль комплексного числа (|z|):
Аргумент (угол φ, градус):
Показательная алгебраическая
Модуль комплексного числа (|z|):
Аргумент (угол φ, градус):
Вещественная часть (а):
Мнимая часть (b) i
Программа для электротехнических расчетов

Программа выполняет вычисления c комплексными числами, представленными в алгебраической или показательной форме, а так же рациональными числами.

Функционал:

- сложение, вычитание, умножение, деление иррациональных чисел;
- перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот;
- возможность задавать точность вычисления от 1-го до 4-х десятичных знаков;
- задание угла как в градусах, так и в радианах;
- предусмотрено использование переменных;
- построение векторных диаграммм;
- вывод результатов расчетов на печать, сохранение и повторный ввод для продолжения расчета.
Перед использованием софта, рекомендуем ознакомиться со "Справкой", которая находиться в архиве с программой. *Все свои пожелания/замечания, касающиеся работы калькулятора, оставляйте в комментариях или обращайтесь непосредственно разработчику.

Математические действия над комплексными числами

Сложение и вычитание комплексных чисел необходимо осуществлять в алгебраической форме, если число представлено в иной форме, нужно перевести его в алгебраическую, воспользовавшись калькулятором, или же вручную по формулам ниже:

Сложение
Вычитание

Умножение и деление комплексных чисел возможно реализовать как в алгебраической, так и в показательной формах. Но намного практичней осуществлять действие в показательной форме, этот способ займет намного меньше времени при расчете, например, токов короткого замыкания.

Умножение
Алгебраическая форма:
Показательная форма:
Комплексно-сопряженными называются числа, у которых действительные части равны, а знак перед мнимой единицей – разный.

Сложение сопряженных чисел:

Умножение комплексно-сопряженных:

При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо избавиться от мнимой составляющей в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножают на число, сопряженное знаменателю.

Деление
Алгебраическая форма:
Показательная форма:

Перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот возможно осуществить с помощью калькулятора для комплексных чисел, который Вы можете скачать по ссылке. Кстати, именно этим калькулятором я пользовался при расчете комплексных чисел ТОЭ, когда учился в университете. Пользоваться им крайне просто. Для перевода в разные формы используется установка нужного «флажка».

Как считать комплексные числа на инженерном калькуляторе?

Если на руках имеется реальный калькулятор, который Вы купили в канцелярском магазине, и он обладает возможностью расчета комплексных чисел, то внимаем. Сейчас расскажу как им пользоваться.

1. Чтоб перевести комплексное число 5+3i из алгебраической формы в показательную, нажимаем клавиши в следующей последовательности:

(красным цветом помечены результаты, которые выведутся на дисплей калькулятора)

Результат:

2. Перевод 4e-i7° в алгебраическую форму:

Результат:

3. И в завершение выполним умножение (5+3i)∙(2-4i):

Результат:

Кнопка калькулятора 2ndf - «secondfunction» (вторая функция):

- переводит в показательную форму;
- в алгебраическую.

Комментарии  

 
# Артём 13.09.2015 20:15
в примере деления комплексных чисел, где алгебраическая форма, у Вас ошибка. (5+3i)\(2+i) будет равно 2.6+0.2i
Попробуйте, сами пересчитайте. у Вас там просто знак потерян.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Виктор Владимирович 03.10.2015 10:10
Артем! Позвони мне 89286626354
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Engineer 29.11.2015 17:06
Цитирую Артём:
в примере деления комплексных чисел, где алгебраическая форма, у Вас ошибка. (5+3i)\(2+i) будет равно 2.6+0.2i
Попробуйте, сами пересчитайте. у Вас там просто знак потерян.

Ошибка исправлена, спасибо
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Влад. 02.12.2015 17:35
Проверьте пожалуйста калькулятор. При переводе числа
из Алгебраической в показательную, число (-19.546+42.578 i), и при переводе обратно, ответ даёт не верный. Знаки (! )путает . Исправьте пожалуйста.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Engineer 05.12.2015 11:24
Цитирую Влад.:
Проверьте пожалуйста калькулятор. При переводе числа
из Алгебраической в показательную, число (-19.546+42.578i), и при переводе обратно, ответ даёт не верный. Знаки (! )путает . Исправьте пожалуйста.

Спасибо за замечание. Все исправлено
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Станислав 20.12.2015 11:24
Почему в вещественной части не может быть 0??
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Станислав 20.12.2015 11:33
а нет, все в порядке, извините)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Алексей 27.12.2015 10:29
При попытке растянуть окно протокола расчета оно не увеличилось, а потянулась вся форма. Лучше или закрепить размер формы или настроить увеличение именно окна. (Просто рекомендация для улучшения программы).
За калькулятор Спасибо!.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Иван 14.01.2016 11:31
Увеличить окно просмотра не меняя размер формы можно только перекрыв клавиатуру. При изменении размера формы меняется размер окна просмотра, а клавиатура остается доступной. Спасибо.
Автор программы.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Владислав 02.04.2016 22:08
Огромное спасибо за помощь с 4e-i7° примером, искал несколько часов, как решить на инженерном калькуляторе!
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# ШЕВА 03.05.2016 21:35
Спасибо за программу
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# ВАРЯ 04.09.2016 18:21
Здорово, спасибо огромное!
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Игорь 04.09.2016 21:10
у вас ошибка в определении комплексного угла (арккотангенс), там а делить на б должно быть, а не наоборот
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Никита 14.11.2016 17:50
Что если у меня такая ситуация i¹²³+i¹³² что делать в таком случае
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Guest 29.09.2017 06:50
Цитирую Никита:
Что если у меня такая ситуация i¹²³+i¹³² что делать в таком случае

Можно разложить так: i^123=(i^2)^61* i=(-1)^61*i=-1* i=-i
i^132=(i^2)^66= (-1)^66=1 и далее думаю не сложно догадаться)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# татьяна 24.11.2016 06:47
Не могу решить помогите!!!!! -4/1-i√3 как решить это в алгебраической виде
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# галина 09.12.2016 13:26
помогите 6е 7пи)4 записать втригонометриче ской и алгебраической форме
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Влада 27.12.2016 01:36
z1=5-3i
z2= -1+6i НАйти сумму и произведение. помогите решить ПРЖАЛУЙСТА !
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Sabrina 04.05.2017 02:16
No matter if some one searches for his essential thing,
so he/she desires to be available that in detail, so that thing is
maintained over here.

my web page kredyt
przez internet: https://kredytbezzawiadcze.wordpress.com
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Григорий 11.01.2018 02:11
Не могу запустить программу на устройстве Acer Aspire one D257 под управлением windows xp
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Евгения 25.01.2018 06:52
подскажите , как перевести в тригонометричес кую форму число z=-3(cosg(pi/7) + isin(pi/7))
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Scot 12.03.2018 15:22
Great items from you, man. I've be aware your stuff
previous to and you're just extremely wonderful.
I actually like what you have received here, really like what you're saying and the way in which in which you say it.

You are making it enjoyable and you continue to take care of to keep it smart.
I can not wait to learn much more from you.
That is really a tremendous site.

My web blog - la motivazione per perdere peso è dura: http://yiyado.dieta-vita.com
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий

Общайтесь культурно

Ваше имя: