Примеры решений комплексных чисел + калькулятор

Понятия комплексные или мнимые числа впервые начали применяться при решении квадратных уравнений. Когда дискриминант получался меньше нуля (D<0), в школе мы могли слышать фразу: «уравнение не имеет решения», но нас вводили в заблуждение. На самом деле, все это делалось в благих намерениях, ведь большая часть школьников не сможет осознать, что такое комплексное число, потому как представить себе его нельзя. Со временем комплексные числа нашли свое применение в разных отраслях, одной из них стала электротехника.

Обозначение мнимой единицы предложил Эйлер, он взял первую букву латинского слова "imaginarius", что в переводе означает «мнимый». Мнимая единица равна корню квадратному из минус одного:

А при возведении мнимой единицы в квадрат, применив элементарные математические операции, мы получим -1:

Существуют три различных формы записи комплексных чисел:

- алгебраическая;
- показательная;
- тригонометрическая.

Алгебраическая форма комплексного числа состоит из действительных, вещественных значений (a, b) и i – мнимой единицы. Комплексное число в алгебраической форме имеет вид a+bi, где a– действительная и bi – мнимая части.

Рисунок 1 – Построение комплексного числа на плоскости (в системе координат).

На вышеприведенном рисунке изображена комплексная плоскость, которую создают оси:

- действительная ось Re (real);
- мнимая ось Im (imaginarius).

В качестве примера на плоскости уже построено комплексное число 5+3i. По действительной оси было отложено a=5, и по мнимой b=3. Поднимем перпендикуляры с осей. Соединим образовавшуюся точку пересечения с нулем. Таким образом, мы получим радиус-вектор. Модуль комплексного числа (|z|) – это длина полученного радиус-вектора, или, другими словами, это расстояние от точки на комплексной плоскости до начала координат. Рассчитывается модуль комплексного числа по формуле:

На рисунке 1 вектор z образовывает с действительной осью угол - аргумент комплексного числа, который легко находится:

Значения a и b можно выразить через радиус-вектор и угол фи (прямоугольный треугольник с углом φ, прилегающим катетом a, гипотенузой |z|):

Тогда, подставив полученные значения в алгебраическую форму, мы выведем следующую форму:

Тригонометрическая форма комплексного числа была выражена из алгебраической и имеет вид:

Я думаю, Вам уже стало понятно, что любое комплексное число можно преобразовать в любую из трех форм. Показательная (экспоненциальная) форма комплексного числа имеет следующее равенство с алгебраической:

Комплексные числа являются равными, только если у них равны и действительные, и мнимые части.

Онлайн калькулятор комплексных чисел
Алгебраическая показательная


Вещественная часть (а):
Мнимая часть (b): i
Модуль комплексного числа (|z|):
Аргумент (угол φ, градус):
Показательная алгебраическая
Модуль комплексного числа (|z|):
Аргумент (угол φ, градус):
Вещественная часть (а):
Мнимая часть (b) i
Программа для электротехнических расчетов

Программа выполняет вычисления c комплексными числами, представленными в алгебраической или показательной форме, а так же рациональными числами.

Функционал:

- сложение, вычитание, умножение, деление иррациональных чисел;
- перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот;
- возможность задавать точность вычисления от 1-го до 4-х десятичных знаков;
- задание угла как в градусах, так и в радианах;
- предусмотрено использование переменных;
- построение векторных диаграммм;
- вывод результатов расчетов на печать, сохранение и повторный ввод для продолжения расчета.
Перед использованием софта, рекомендуем ознакомиться со "Справкой", которая находиться в архиве с программой. *Все свои пожелания/замечания, касающиеся работы калькулятора, оставляйте в комментариях или обращайтесь непосредственно разработчику.

Математические действия над комплексными числами

Сложение и вычитание комплексных чисел необходимо осуществлять в алгебраической форме, если число представлено в иной форме, нужно перевести его в алгебраическую, воспользовавшись калькулятором, или же вручную по формулам ниже:

Сложение
Вычитание

Умножение и деление комплексных чисел возможно реализовать как в алгебраической, так и в показательной формах. Но намного практичней осуществлять действие в показательной форме, этот способ займет намного меньше времени при расчете, например, токов короткого замыкания.

Умножение
Алгебраическая форма:
Показательная форма:
Комплексно-сопряженными называются числа, у которых действительные части равны, а знак перед мнимой единицей – разный.

Сложение сопряженных чисел:

Умножение комплексно-сопряженных:

При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо избавиться от мнимой составляющей в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножают на число, сопряженное знаменателю.

Деление
Алгебраическая форма:
Показательная форма:

Перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот возможно осуществить с помощью калькулятора для комплексных чисел, который Вы можете скачать по ссылке. Кстати, именно этим калькулятором я пользовался при расчете комплексных чисел ТОЭ, когда учился в университете. Пользоваться им крайне просто. Для перевода в разные формы используется установка нужного «флажка».

Как считать комплексные числа на инженерном калькуляторе?

Если на руках имеется реальный калькулятор, который Вы купили в канцелярском магазине, и он обладает возможностью расчета комплексных чисел, то внимаем. Сейчас расскажу как им пользоваться.

1. Чтоб перевести комплексное число 5+3i из алгебраической формы в показательную, нажимаем клавиши в следующей последовательности:

(красным цветом помечены результаты, которые выведутся на дисплей калькулятора)

Результат:

2. Перевод 4e-i7° в алгебраическую форму:

Результат:

3. И в завершение выполним умножение (5+3i)∙(2-4i):

Результат:

Кнопка калькулятора 2ndf - «secondfunction» (вторая функция):

- переводит в показательную форму;
- в алгебраическую.

Комментарии  

 
# Артём 13.09.2015 20:15
в примере деления комплексных чисел, где алгебраическая форма, у Вас ошибка. (5+3i)\(2+i) будет равно 2.6+0.2i
Попробуйте, сами пересчитайте. у Вас там просто знак потерян.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Виктор Владимирович 03.10.2015 10:10
Артем! Позвони мне 89286626354
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Engineer 29.11.2015 17:06
Цитирую Артём:
в примере деления комплексных чисел, где алгебраическая форма, у Вас ошибка. (5+3i)\(2+i) будет равно 2.6+0.2i
Попробуйте, сами пересчитайте. у Вас там просто знак потерян.

Ошибка исправлена, спасибо
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Влад. 02.12.2015 17:35
Проверьте пожалуйста калькулятор. При переводе числа
из Алгебраической в показательную, число (-19.546+42.578 i), и при переводе обратно, ответ даёт не верный. Знаки (! )путает . Исправьте пожалуйста.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Engineer 05.12.2015 11:24
Цитирую Влад.:
Проверьте пожалуйста калькулятор. При переводе числа
из Алгебраической в показательную, число (-19.546+42.578i), и при переводе обратно, ответ даёт не верный. Знаки (! )путает . Исправьте пожалуйста.

Спасибо за замечание. Все исправлено
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Станислав 20.12.2015 11:24
Почему в вещественной части не может быть 0??
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Станислав 20.12.2015 11:33
а нет, все в порядке, извините)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Алексей 27.12.2015 10:29
При попытке растянуть окно протокола расчета оно не увеличилось, а потянулась вся форма. Лучше или закрепить размер формы или настроить увеличение именно окна. (Просто рекомендация для улучшения программы).
За калькулятор Спасибо!.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Иван 14.01.2016 11:31
Увеличить окно просмотра не меняя размер формы можно только перекрыв клавиатуру. При изменении размера формы меняется размер окна просмотра, а клавиатура остается доступной. Спасибо.
Автор программы.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Владислав 02.04.2016 22:08
Огромное спасибо за помощь с 4e-i7° примером, искал несколько часов, как решить на инженерном калькуляторе!
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# ШЕВА 03.05.2016 21:35
Спасибо за программу
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# ВАРЯ 04.09.2016 18:21
Здорово, спасибо огромное!
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Игорь 04.09.2016 21:10
у вас ошибка в определении комплексного угла (арккотангенс), там а делить на б должно быть, а не наоборот
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# Никита 14.11.2016 17:50
Что если у меня такая ситуация i¹²³+i¹³² что делать в таком случае
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
# татьяна 24.11.2016 06:47
Не могу решить помогите!!!!! -4/1-i√3 как решить это в алгебраической виде
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий

Общайтесь культурно

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru

Яндекс.Метрика